Ngày 21 tháng 03 năm 2012

CÁC CÔNG THỨC DÙNG TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH PHẲNG


Murray R. Speigel, Seymour Lipschutz, John Liu, Mathematical handbook of Formulas and Tables, McGrawHill, 2009Sau đây là tập hợp các công thức nên nhớ được sử dụng nhiều trong hình học giải tích phẳng (plane analytic geometry). Ngoài ra, các công thức này cũng được sử dụng nhiều trong lập trình tính toán, phương pháp tính, phương pháp phần tử hữu hạn:

DANH SÁCH CÔNG THỨC

1. Khoảng cách d giữa 2 điểm P_1(x_1,y_1) và P_2(x_2,y_2):
d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

2. Góc nghiêng m của đường thẳng nối 2 điểm P_1(x_1,y_1) và P_2(x_2,y_2):
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=tan\theta

3. Công thức đường thẳng nối 2 điểm P_1(x_1,y_1) và P_2(x_2,y_2):
\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=m hay y-y_1=m(x-x_1) y=mx+b
trong đó, b=y_1-mx_1=\frac{x_2y1-x_1y_2}{x_2-x_1} là toạ độ giao điểm với trục y.

4. Phương trình đường thẳng giao với trục x tại a\neq0 và trục y tại b\neq0:
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1

5. Phương trình đường thẳng sử dụng pháp tuyến:
x cos \alpha + y sin \alpha = p
Trong đó: p là khoảng cách từ O đến đường thẳng
và \alpha là góc hợp bởi đường pháp tuyến này với trục x

6. Phương trình đường thẳng tổng quát:
Ax + By + C = 0

7. Khoảng cách từ điểm (x_1,y_1) đến đường thẳng Ax + By + C = 0:
\frac{Ax_1 + By_1 + C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}
Trong đó, dấu + hay – sẽ được chọn sao cho khoảng cách là giá trị không âm.

8. Góc \psi hợp bởi 2 đường thẳng có hệ số góc m_1 và m_2:
tan \psi = \frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}
+ 2 đường thẳng song song hay trùng nhau khi và chỉ khi m_1=m_2
+ 2 đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi m_2=-1/m_1

9. Diện tích tam giác có 3 đỉnh tại (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3):
Diện tích = \pm \frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1\\ x_2 & y_2 & 1\\ x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix}=\pm \frac{1}{2}(x_1y_2+y_1x_3+y_3x_2-y_2x_3-y_1x_2-x_1y_3
Trong đó, dấu + hay – được chọn sao cho diện tích có giá trị không âm. Nếu diện tích bằng 0 thì 3 điểm trên nằm trên 1 đường thẳng.

10. Biến đổi trục toạ độ bằng cách tịnh tiến thuần:
\left\{\begin{matrix}x=x'+x_0\\y=y'+y_0\end{matrix}\right.
hay
\left \{ \begin{matrix} x'=x-x_0 \\ y'=y-y_0 \end{matrix} \right.

Trong đó: (x,y) là hệ trục toạ độ ban đầu (tương ứng với hệ xy) và [/latex](x’,y’)[/latex] là hệ trục toạ độ mới (tương ứng với hệ x’y'), và (x_0,y_0) là toạ độ của điểm O’ trong hệ trục xy.

11. Biến đổi trục toạ độ bằng cách xoay thuần:
\left \{ \begin{matrix} x = x' cos \alpha - y' sin \alpha \\ y = x' sin \alpha + y' cos \alpha \end{matrix} \right.
hay
\left \{ \begin{matrix} x' = x cos \alpha + y sin \alpha \\ y' = y cos \alpha - x sin \alpha \end{matrix} \right.
Trong đó: hệ trục toạ độ (x,y) và(x',y') giống nhau, nhưng trục x’ xoay một góc \alpha so với chiều dương trục x.

TÀI LIỆU THAM KHẢO